Предложение 1.3. Пусть А’ – произвольное подмножество вполне упорядоченного множества А. Тогда множество А не изоморфно никакому отрезку множества А’.

   Доказательство:

   Будем доказывать методом от противного и предположим, что существует изоморфизм вполне упорядоченного множества А в некоторый отрезок Ах’ подмножества А’А. Тогда f (x)  Ax’. Следовательно, f (x) < x – противоречие с предложением 1.2. ■

   Следствие 1.4. Два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между собою.

   Доказательство.

   Пусть Ах и Ау – два различных отрезка вполне упорядоченного множества А. Так как Ах и Ау различны, а множество А – вполне упорядочено, то х и у сравнимы, при этом ху. Пусть для определённости x < y. Тогда Ах – отрезок множества Ау и по предложению 1.3 Ах и Ау не могут быть изоморфными. ■

   Предложение 1.5. Существует не более одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.

   Доказательство.

   Будем доказывать методом от противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне упорядоченного множества А на вполне упорядоченное   множество   В.  Так как  f  и  g различны, то существует аА: b = f (a)  b’ = g (a). Пусть для определённости b < b’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В отрезок Ах  А переходит в отрезок   Ву  В,   где  у = f (х).  Поэтому отрезок  Аа А   подобен  отрезкам

Вb  В и Вb’  B, т. е. Bb изоморфен Aa  и Аа изоморфен Вb’. Следовательно, отрезок Вb  изоморфен отрезку Bb’ , но это противоречит следствию 1.4. ■

   Определение 2.2.  Если  для  элемента  а  А  существует   элемент  а’ =

       3)  для  любого  подмножества  Х множества А из того, что а0Х и Х  

  содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно       следующий за ним элемент, следует, что Х = А.

   Доказательство.

 Пусть линейно упорядоченное множество А удовлетворяет условиям 1)-  3). Докажем, что А имеет порядковый тип , то есть А изоморфно множеству N.

   Из условия (1) следует существование во множестве А наименьшего элемента а0.

    Рассмотрим  отображение   f: N  A, заданное таким образом: f (0)  =  a0,

f (n + 1) = (f (n))’, где n = 0, 1, 2,… Существование (f (n))’ для каждого n обеспечивается условием  (2). Тогда вследствие условия (3) f(N)=A. Таким образом, f инъективно и сюръективно, следовательно, взаимно однозначно.            Докажем, что f сохраняет порядок: возьмём n, m  N, пусть для определённости  n < m .  Из условия  (2)  следует,  что f (n) < (f (n))’  f (m),

то есть f (n) < f (m). Следовательно, f сохраняет порядок.

   Таким образом, f – взаимно однозначное отображение N  A, сохраняющее порядок. Следовательно, множество А имеет порядковый тип .

 Пусть есть бесконечное линейно упорядоченное множество А, имеющее порядковый тип . Множество N удовлетворяет условиям 1) – 3), а множество А изоморфно ему, поэтому и множество А удовлетворяет условиям 1) – 3). ■

   Определение 2.5. Порядковым типом * называется класс линейно упорядоченных множеств, эквивалентных множеству N с двойственным порядком: 1 > 2 > 3 >…

   Предложение 3.2. упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножество типа *.

   Доказательство.

 Предположим, что вполне упорядоченное множество А содержит подмножество Х типа *. Тогда в Х нет наименьшего элемента, что противоречит вполне упорядоченности множества А. Следовательно, в А нет подмножеств типа *.

 Пусть множество А не содержит подмножество типа *. Докажем, что А является вполне упорядоченным множеством. Предположим, что это не так, т. е. А содержит подмножество В, в котором нет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В, обозначим его b1. Так как в В нет наименьшего элемента, то существует элемент b2, для которого b2 < b1. Повторяя это рассуждение, строим для каждого n N элемент bn+1  B, причём:

                                                   bn+1 < bn.

Получили множество {b1, b2, … , bn, . . .} которое является подмножеством множества А и имеет тип * -  противоречие. ■

§4. СВОЙСТВА ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

   Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.

   Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).

   Определение 2.6. Порядковое число  меньше порядкового числа  (), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа  изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа .

   Пусть  - некоторое ординальное число. Обозначим W() – множество всех ординальных чисел, меньших .

   Теорема 4.1. Отношение  < , установленное для ординальных чисел, превращает множество W() всех ординальных чисел,  меньших    данного ординального числа , во вполне упорядоченное множество типа .

   Доказательство.

   Из определения 2.6 следует, что множество W () находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков Ах произвольно выбранного множества А типа ; так как отрезки Ах взаимно однозначно соответствуют элементам х  А, то имеем взаимно однозначное соответствие  = f (х), х  А,   W() между множеством W() и множеством  А типа . При этом соответствии из х < x’ в А следует, что Ах есть отрезок  множества Ах’ , значит,  = f (x) <  = f (x’) в W (), и обратно. ■

   Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:

1)  А  В = Х;

                                     2) А  В = Æ;

 3) для любых х  А и у  В выполняется неравенство х < у.

   Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел  и  всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо  < , либо  = , либо  > .

   Доказательство.

   Пусть даны два ординальных числа  и . Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что  и  могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений:  = ,  < ,  > .

   Обозначим через D множество W ()  W (). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через . Докажем неравенства , . Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем   D  W ().   Если D = W (),  то  есть  порядковый  тип  множества W (), то есть  = . Пусть D  W (). Разбиение W () = D(W()\D) есть сечение  во  вполне  упорядоченном  множестве W (). В самом деле, пусть х  D, у  W ()\D. Так как W () линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х.  Покажем,   что   второй   случай  невозможен. Действительно, так как хW (), хW (), то  одновременно х <  и х < . Если  бы  было  у < х,  то было  бы  у < ,   у < ,  то есть   у  D.   Итак,   доказано,   что   х < у  для  любых  х  D, у  W ()\D, а это и означает, что  (D, W ()\D) есть сечение в W (). Пусть  <  есть первый элемент в W ()\D. Тогда отрезок, отсекаемый в W () элементом , совпадает с D, то есть  есть порядковый тип множества D,  =  и  < .

   Аналогично доказывается, что .

   Однако, неравенства  <  и  <  не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы D, так что  было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.

   Таким образом, имеются лишь следующие возможности:

1)  = ,  =  и, значит,  = ;

2)  = ,  =  и, значит,  < ;

3)  < ,  =  и, значит,  < . ■

   Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.

   Доказательство.

   Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A’  А имеет наименьший элемент.

   Возьмём  какой-нибудь  элемент а’  A’. Если а’ – наименьший из  чисел

 х  А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a’)  A’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A’. ■

   Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество АВ, состоящее из всех элементов аА и bB. Превратим множество АВ в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если а<a’ в A или b<b’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же аА, bВ, то положим a<b в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если  и  есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой + порядковых типов  и .

   Теорема 4.4. Пусть  - какое-нибудь ординальное число. Тогда +1 есть ординальное число, непосредственно следующее за .

   Доказательство.

   Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множество типа . По определению сложения порядковых типов множество А’ типа +1  получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами   аА.  Тогда  A = A’a’,  то есть  < +1.

    Всякое ординальное число ’< +1 является типом некоторого отрезка Аx’ множества A’. Но если х = а’, то Аx’ = A’a’ = A и ’ = ; если же x = a < a’, то Ax’ = Aa  и ’ < . ■

   Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть  и  - их порядковые типы. Если А  В, то .

   Доказательство.

   Будем доказывать методом от противного и предположим, что  < . Тогда  множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■

   Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел х (данных в любом порядке) есть ординальное число , не меньшее, чем любое из данных слагаемых х.

   Доказательство.

   Пусть дано некоторое ординальное число  и каждому  <  поставлено в соответствие ординальное число х. Пусть  - сумма по типу  всех ординальных чисел х; обозначим её через   =.

   Если Х  - какое-нибудь множество, упорядоченное по типу х, то сумма вполне упорядоченного (по типу W ()) множества множеств Х есть вполне упорядоченное множество Х, типом которого является . Так как множество Х содержит в качестве своего подмножества каждое из множеств Х, то на основании теоремы 4.5 для любого х имеем х .■ 

   Теорема 4.7. Для любого множества ординальных чисел можно построить ординальное число, большее любого из чисел этого множества.

   Доказательство.

   Пусть есть множество ординальных чисел Х. На основании теоремы 4.6 сумма всех  элементов х множества Х есть ординальное число, большее, чем любое из данных х. ■

§5. ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ W (1 ) И ЕГО СВОЙСТВА.

   Мощностью ординального числа называется мощность соответствующего ему вполне упорядоченного множества. Так, числа 1, 2, 3, … являются конечными ординальными числами,  - счётное ординальное число, так как является порядковым типом множества N. 

   Обозначим  1 – первое несчётное ординальное число. Рассмотрим W(1) – множество всех ординальных чисел, меньших 1. По теореме 4.1 множество W(1) является вполне упорядоченным и имеет тип 1, то есть |W(1)| = 1 – первая несчётная мощность.

   Определение 2.9. Ординальное число называется предельным, если оно не имеет предшествующего.

   Предложение 5.1. 1 – предельное ординальное число.

   Доказательство.   

   Если 1, то  - счётно или конечно. Тогда таковым будет и число . Следовательно, 1. Таким образом, никакое число 1 не является предшествующим 1. ■

   Предложение 5.2. Среди чисел множества W(1) бесконечно много предельных ординальных чисел.

   Доказательство.

   Пусть 1, тогда  - конечно или счётно. Тогда  - счётно, следовательно, 1, поэтому 1).■

   W(1) – линейно упорядоченное множество, так как любые его два элемента сравнимы (по теореме 4.2). Следовательно, на нём можно ввести порядковую топологию, при этом W(1) становится линейно упорядоченным пространством. Для него выполняются общие топологические свойства линейно упорядоченных пространств:

1. Хаусдорфовость. Пространство W(1) является хаусдорфовым пространством ([1]).

2. Нормальность. Пространство W(1) является нормальным пространством ([1]) и, следовательно, тихоновским пространством ([3]).

3.  Фундаментальная система окрестностей произвольной точки из W(1). 

   Определение 2.10. Множество  окрестностей точки х образует фундаментальную систему окрестностей этой точки, если для любой окрестности U(x) точки х найдётся окрестность О(х), для которой х.

   Любая точка пространства W(1) обладает фундаментальной системой окрестностей, состоящей из открыто-замкнутых множеств, то есть для любого > 0 множество всех открыто-замкнутых интервалов [+1; ] = ={x: < x < +1}, где  образует фундаментальную систему окрестностей точки .

4. Локальная компактность.

     Лемма 5.3. W()  компактно тогда и только тогда, когда  не является предельным  ординальным числом.

   Доказательство.

   Необходимость. Будем доказывать методом от противного и предположим, что  - предельное ординальное число. Рассмотрим множество  «хвостов»,  то  есть  множество  вида  W()\W()  = {xW():

x },  где – некоторое ординальное число: . Это замкнутые множества. Очевидно, что  пересечение  конечного числа «хвостов» является «хвостом», то есть не пусто. Таким образом, «хвосты» образуют центрированную систему замкнутых множеств. Так как  - предельное ординальное число, то пересечение всех множеств этого семейства пусто и, следовательно, W() не компактно - противоречие. Следовательно,  - не является предельным ординальным числом.

   Достаточность. Проведём доказательство по индукции:

   1.W(0) = Æ  - очевидно компактно.

   2.Индукционное предположение: пусть ’ = +1 – не предельное ординальное число. Предположим, что W() компактно для любого <+1.

   Пусть  - семейство открытых множеств, образующих покрытие пространства W(+1). Так как точка  покрыта, то существует U, <: [+1; ] U. По индукционному предположению пространство W(+1), являющееся подпространством W(+1), компактно, так как +1<+1. Поэтому конечное подсемейство F из  покрывает W(+1). Тогда  F{U} – это конечное подпокрытие из , которое покрывает W(+1). Следовательно, W(+1) компактно. ■

   Из этой леммы следует, что пространство W(1) не является компактным, так как 1 - предельное ординальное число.

   Предложение 5.4. Пространство W(1) локально компактно.

   Доказательство.

   Возьмём произвольную точку  из W(1). Так как W(1), то <1 и  +1<1 (так как 1 – предельное ординальное число). Следовательно, +1 не является предельным ординальным числом. В качестве окрестности  точки    возьмём  открыто-замкнутое множество U() = = = W(+1) – компактно (по лемме 5.3) и содержит точку . Следовательно, W(1) локально компактно. ■

5. Счётные множества в W(1).

   Определение 2.11. Множество А называется кофинальным в W(), если оно не ограничено сверху, т. е. ( ) ().

   Предложение 5.5. Ни одно счётное множество в W(1) не кофинально.

   Доказательство.

   Будем доказывать методом от противного и предположим, что в W(1) существует счётное кофинальное множество S.

   Докажем, что W(1) = :

 Очевидно, что W()W(1) для любого S W(1).

 Докажем, что W(1) .

Пусть W(1). Так как S кофинально, то существует S: . Следовательно, W().

Таким образом, W(1) = .

  Заметим, что  |W(1)| = 1. Тогда 1|S|0. Следовательно, |S|= 1, чего быть не может, так как S – счётное множество. ■

6. Счётная компактность.

   Предложение 5.6. Любое счётное множество из W(1) содержится в компактном подпространстве пространства W(1).

   Доказательство.

   Пусть А - счётное подмножество в W(1). По предложению 5.5 оно не является кофинальным, то есть А ограничено сверху в W(1). Пусть = supA. Тогда W(1) и АW(+1), где W(+1) на основании леммы 5.3 компактно, так как +1 не предельное ординальное число. Таким образом, нашлось компактное подпространство пространства W(1), в котором содержится множество А. ■

   Следствие 5.7. Любое счётное замкнутое множество в W(1) компактно.

   Доказательство.

   Пусть А – счётное замкнутое множество в W(1). Так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно ([8]), а множество А по условию замкнуто, и по предложению 5.6 оно содержится в компактном подпространстве пространства W(1), то А компактно. ■

   Предложение 5.8. Пространство W(1) счётно компактно.

   Доказательство.

   Пусть S – произвольное бесконечное подмножество в W(1), а (n) – его строго возрастающая последовательность. По предложению 5.5 множество {n} не является кофинальным, то есть оно ограничено сверху. Пусть =supn. В любой окрестности () точки , где , есть точки последовательности n множества S. Тогда  - предельная точка множества S. ■

7. Пространство W(1) не метризуемо, так как оно не компактно, но счётно компактно, а в метрических пространствах любое счётно компактное пространство компактно.

8. Компактификации.

   Лемма 5.9. Из любых двух не пересекающихся замкнутых множеств в W(1) хотя бы одно ограничено.

   Доказательство.

   Будем доказывать методом от противного и предположим, что H и K – кофинальные замкнутые не пересекающиеся множества. Мы можем выбрать возрастающую последовательность (n), nN, где nH для n – нечётных, и  nК для n – чётных. Так как множества Н и К замкнуты, то предельные точки им принадлежат, то есть  = sup n, чего быть не может, поскольку множества Н и К не пересекаются. ■

   Предложение  5.10. Любая функция fС (W(1)) постоянна на «хвосте» W(1)\W() ( зависит от f ).

   Доказательство.

   Заметим, что любой «хвост» W(1)\W(), где W(1), счётно компактен, так как он является замкнутым подпространством счётно компактного пространства W(1) ([3]). Следовательно, каждое  множество  образов  f [W(1)\W()] – это  счётно  компактное подмножество  R (поскольку функция f непрерывна, а непрерывный образ счётно компактного множества счётно компактен ([3]) )  и,   следовательно,   компактно,   поэтому     пересечение [W(1)\W()] центрированного семейства замкнутых множеств непусто. Выберем произвольное число r из этого пересечения. Докажем, что  f -1(r) кофинально в W(1). Так как r[W(1)\W()], то rf [W(1)\W()] для любого W(1). Следовательно,  f –1(r)W(1)\W() для любого .

   Рассмотрим  для  каждого  nN  замкнутое  множество   Аn =

. Оно  не   пересекается   с  f –1(r), а f –1(r) кофинально, поэтому по лемме 5.9 Аn имеет точную верхнюю грань в W(1). Обозначим  n = sup An. Возьмём произвольное ординальное число >supn. Пусть  W(1)\W(), тогда >. Предположим, что f () r, тогда |f () - r| для некоторого n. Следовательно, Аn и  n<, т. е. , но > - противоречие.

   Таким образом,  f () = r  для любого  W(1)\W(), >. ■

   Определение 2.12. Пусть сХ – произвольная компактификация тихоновского пространства Х. Множество сХ\Х, то есть множество всех точек, которыми сХ отличается от Х, называется наростом компактификации сХ.

   Определим упорядочение на семействе ζ(Х) всех компактификаций пространства Х.

   Определение 2.13. Пусть с1Х и с2Х – компактификации пространства Х. Положим с2Хс1Х, если существует непрерывное отображение f: с1Хс2Х такое, что f (х) = х для всех хс1Х.

    Известно, что каждое некомпактное локально компактное хаусдорфово пространство Х обладает компактификацией Х с одноточечным наростом. Эта компактификация является наименьшим элементом семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х по отношению к упорядочению  и называется одноточечной компактификацией (александровской компактификацией) ([3]). Отсюда следует, что пространство  W(1){1} является александровской компактификацией пространства W(1).

   Определение 2.14.  Пусть Х. -  произвольное тихоновское пространство. Наибольший элемент семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х называется стоун-чеховской компактификацией (или стоун-чеховским расширением) пространства Х.

   Предложение 5.12. Пространство W(1) имеет единственное компактное хаусдорфово расширение (а именно W(1){1}).

   Доказательство.

   Докажем, что W(1){1} является стоун-чеховской компактификацией пространства W(1). Известно, что если каждое непрерывное отображение тихоновского пространства Х в компактное хаусдорфово пространство можно непрерывно продолжить на некоторую компактификацию Х пространства Х, то Х является стоун-чеховской компактификацией пространства Х ([3]). Таким образом, достаточно доказать, что любая непрерывная функция, определённая на W(1), продолжается по непрерывности на W(1){1}.

   Каждая непрерывная вещественная функция, определённая на W(1), финально   постоянна,  то есть  для  некоторого аW(1) и всех х, у > a имеем  f (x) = f (y) (по предложению 5.10). Следовательно, если f продолжить на пространство W(1){1}, являющееся одноточечной компактификацией пространства W(1), положив  (1) = f (х), где х >a, |W(1) = f , то мы получим непрерывную функцию  на W(1){1}. Значит, W(1){1} – расширение Стоуна-Чеха пространства W(1). ■

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чиркова Н. В.  Выпускная квалификационная работа «Линейно упорядоченные пространства», научный руководитель Варанкина В. И., Киров, 2002.

2. Александров П. С. «Введение в теорию множеств и общую топологию». М.: Наука, 1977.

3.  Энгелькинг Р. «Общая топология». М.: Мир, 1986.

4.  Келли Дж. Л. «Общая топология». М.: Наука, 1981.

5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа». М.: Наука, 1968.

6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов». М.: Физматлит, 1995.

7. Р. Столл «Множества. Логика. Аксиоматические теории». М.: Просвещение, 1968.

8. Ч. Коснёвски «Начальный курс алгебраической топологии». М.: Мир, 1983.