Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения

Автор: Фильчев Э.Г.

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0 ( 1 )

где

x - любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4+(3c – b2 )2(2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3 + ( 2b3 – 9bc + 27d )2]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D1 = - = - (2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32

2. Определяем значение

D2 = - 2( 3c – b2 ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)2( 2mn)3

Задача решена !

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0

где a =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение D1 = = -

-→ D1 = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X1 = 3 + 2 = 5 , X2 = 3 - 2 = 1

Здесь X1 = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X2 = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X2 = 3

Здесь X = 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( - 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.

2.1 32 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400

2.2 42 ∙ 52 ∙ 92 = 32400 . Этот вариант подходит!

-→ (2mn)11 = 4, (2mn)12 = - 4,

(2mn)21 = 5, (2mn)22 = - 5,

(2mn)31 = 9, (2mn)32 = - 9.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X1 = 7, X2 =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)12 = - 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X2 - X3) -→ X3 = X2 - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.

Расчет закончен !

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0

где a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72 ∙ 112 182 = 1920996

-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 = - 7,

(2mn)21 = 11, (2mn)22 = - 11,

(2mn)31 = 18, (2mn)32 = - 18.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X1 = , X2 = 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)12 = - 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 2, X2 = - 5, X3 = 13.

Расчет закончен !

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D1 = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2 . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .

При этом значение степени k должно определяться

- для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )

- для D1 = 3∙ (число знаков в мантиссе для D2 ). -→ k1 = 3∙ k2 ( для данного примера k1 = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D11 = 987539062500

- D21 = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

- найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Вариант D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D11 = 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152

D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152.

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1 и k2 . Совершая обратную операцию, получим

(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = - 2.5,

(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = - 2.65,

(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = - 0.15.

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X1 = 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 4, X2 = 1.5, X3 = 1.35.

Расчет закончен !

Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D2 = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32],

где

- (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения

- D1 = -

- D2 = - 2( 3c – b2 )

- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два сопряженных мнимых корня X2 = ( g2 - hi), X3 = ( g2 + hi). Тогда

(2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) + hi

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – hi

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - hi - g2 – hi = - 2hi

-→ D1 = - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 - g2 ) - hi]2 ∙ [2 hi]2

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D1 = -

D2 = - 2( 3c - b2 )

определяются значения D1 и D2.

2. Определяются D1 - как произведение двух квадратов

D2 - как удвоенная сумма двух квадратов.

3. Определяются значения g1, g2,h.

4. Определяются значения (2mn)11, (2mn)21, (2mn)31

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0

где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.

-→D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72 ∙ 582

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 . Тогда можно записать

h = 7, (g1 - g2 )2 + h2 = 58 -→ (g1 - g2 )2 = 58 – 49 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2) = 9, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 - g2 )= 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 9 -→ 3g1 = 15 -→ g1 = 5 -→ g2 = 2.

-→ X1 = 5, X2 = 2 + 7i , X3 = 2 – 7i

Расчет закончен !

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 30x2 + 322x – 1168 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

-→D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52 ∙342

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 . Тогда можно записать

h = 5, (g1 - g2 )2 + h2 = 34 -→ (g1 - g2 )2 = 34 – 25 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.

4.Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2) = 30, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 - g2 )= - 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 30 -→ 3g1 = 24 -→ g1 = 8 -→ g2 = 11.

-→ X1 = 8, X2 = 11 + 5i , X3 = 2 – 5i

Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1 = g + h, то X2 = g – h или X1 = (g + h), то X2 = (g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b при X для X3 + bX2 + cX + d = ( X – X1)∙( X2 + bX + c) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1 = g + ih, то X2 = g – ih.

Первый случай – тривиальный . (x – a )3 = x3 – 3ax2+3a2x – a3= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g1 ), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 - h)] = 0

-→ X2 – 2g2X + (g22 – h2) = 0

-→ X1 = g1, X2,3 = g2 ± h -→ X2 = ( g2 - h), X3 = ( g2 + h)

-→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) + h

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – h

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - h - g2 – h = - 2h

-→ D1 = - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + h]2 ∙ [(g1 - g2 ) - h]2 ∙ [2h]2

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 (3)

-→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [(g1 - g2 ) + h]2 + [(g1 - g2 ) - h]2 + 4h2

→ D2 = - [(g1 - g2 )2 + 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + (g1 - g2 )2 - 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + 4h2]

→ D2 = - [ 2(g1 - g2 )2 + 6h2] = - 2[(g1 - g2 )2 +3h2] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

D1 = - (4)

D2 = - 2( 3c - b2 ), (5)

где b,c,d- коэффициенты исходного кубического уравнения.

Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2mn)I = 0

При (2mn)I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3x2 + 2bx +с = 0 (6)

→ X2 = ( g2 - h), X3 = ( g2 + h) → X2 = X3 = g2

→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 )

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 )

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - g2 = 0

→ D1 = - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = 0

→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [ (2mn)12 + (2mn)22 ]

→ D2 = 2 (2mn)12 = 2 (g1 - g2 )2 = - 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )

→ (g1 - g2 )2 = ( b2 - 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X1 + 2X2

→ g1 + 2g2 = - b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g2 = -

→ X11,12 = g11,12 = [ - b ± ]

→ X21,22 = g21,22 = [ - b ± ]

Расчет закончен !

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 41x2 + 475x – 1083 = 0

где a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083

1. X11,12 = g11,12 = [ - b ± ] → X11,12 = [ 41 ± ] = [ 41 ± ]

→ X11 = , X1 = 3

X21,22 = g21,22 = [ - b ± ] → g21,22 = [ 41 ± ]= [ 41 ± ]

→ X21 = 19, X22 = → X2 = X3 = 19

Расчет закончен !

Вывод основных формул

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D1 = -

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ h2.

4. Меньший множитель принимаем за h2 → [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 =

→ (g1 - g2 ) = (6)

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - h + g2 +h )

→ b = - ( g1 + 2g2 ) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X1 = g1 = - b )

→ X11 = g11 = - b ) (8)

→ X12 = g12 = - b ) (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.

7. → g2 = -

→ g21 = -

→ g22 = -

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

Задача решена!

Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 33x2 + 311x – 663 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 313600 = 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72 = 4∙702∙42 = 4∙282∙102

313600 = 4∙1402∙22 = 4∙72∙402 = 4∙52∙562

-→ = 402∙72 = 702∙42 = 282∙102 = 1402∙22 =52∙562

2. Пусть h12 = 72

→ X1 = g11 = - b ) = - b) =

→ g11 = X11 = 13, X12 = 9.

→ g21 = - = - = 10

→ X2,3 = g21 + h1 = 10 ± 7 → X2 = 17, X3 = 3

Задача решена!

Неприводимый случай формулы Кардана

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два мнимых сопряженных корня

X2 = ( g2 - ih), X3 = ( g2 + ih).

-→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) +ih

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – ih

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - ih - g2 – ih = - 2ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D1 = -

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ h2.

4. Меньший множитель принимаем за h2 → [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 =

→ (g1 - g2 ) =

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )

→ b = - ( g1 + 2g2 )

6. X1 = g1 = - b )

→ X11 = g11 = - b )

→ X12 = g12 = - b )

7. → g2 = -

→ g21 = -

→ g22 = -

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6x2 + 58x – 200 = 0

где a =1, b = - 6, c = 58, d = - 200

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032

-→ = 2032∙22 = 582∙72 = 292∙142

Пусть h12 = 72

→ X1 = g11 = - b ) = + 6) = = 4

→ X1 = 4

→ g21 = - = - = 1

→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i

Задача решена!

Пример 10 Дано уравнение

x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0

где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168

→ D1 =[(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙ = 4∙142∙ = 4∙

→ D1 =

Пусть h12 =

→ X1 = g11 = - b ) = + 6) = = 4

→ X1 = 4

→ g21 = - = - = 1

→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i → X2 = 1 + 2i , X3 = 1 - 2i

Сравните метод решения и результат с первоисточником.

[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]

Вывод новых формул

Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.

Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)

(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0

Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим

(2mn)2 + ( 3xi + b )(2mn) + 3xi2 + 2bxi +с = 0

→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0

→ (2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0

→ (2mn)2 + ( 3x3 + b )(2mn) + 3x32 + 2bx3 +с = 0

Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn)I обязательно найдется отрицательное значение (2mn)j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn) будет равна нулю.

→ ( 3x1 + b ) + ( 3x2 + b ) + ( 3x3 + b ) = 0 → 3( x1 + x2 + x3 ) = - 3 b

→ ( x1 + x2 + x3 ) = - b.

Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.

Рассмотрим любых два уравнения, например,

→ (2mn)2 + ( 3x1 + b )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0

(2mn)2 + ( 3x2 + b )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0.

Здесь в качестве свободных членов имеем 3x12 + 2bx1 +с и 3x22 + 2bx2 +с. Их сумма равна

→ Σ = 3(x12 + 3x22 ) + 2b(x1 + x2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что

3(x12 +x22 ) + 2b( x1 + x2 ) + 2 с = ( x1 - x2 )2

→ (x1 + x2 )2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0

Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь

→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0

→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0

→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0

Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!

В общем случае эта формула имеет вид

( xi + xj )2 + b( xi + xj ) + с - xi∙ xj = 0 ( 10 )

Пример 11 Проверить формулу ( 10 )

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Здесь X1 = 7, X2 = 2, X3 = 11.

→ (x1 + x2)2 + b( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2 = 0

→ (x1 + x3)2 + b( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11 = 0

→ (x2 + x3)2 + b( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11 = 0

Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).

Три действительных корня и два одинаковых

При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.

Тогда из уравнения (2) следует 3x12 + 2bx1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.

Пример 12 Пусть имеем в качестве исходного уравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.

Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x12 + 2bx1 +с = 0 → 3x12 - 50x1 + 203 = 0 → x1,2 = ) → x1 = , x2 = 7.

Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является

X1 = X2 = 7, X3 = 11

Три действительных и одинаковых корня

В этом случае имеем для всех (2mn) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x12 + 2bx1 +с = 0.

→ x1,2 = ). При равенстве трех корней имеем = 0