Реферат: Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Реферат: Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

Расчетная работа

Выполнил Шеломанов Р.Б.

Кафедра математической статистики и эконометрики

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Москва 1999

ЗАДАНИЕ № 23

Продолжительность горения электролампочек  (ч) следующая:

По выборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:

1* Построить интервальный вариационный ряд распределения;

Построение интервального вариационного ряда  распределения

Max: 769

Min:  733

R=769-733=36

H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712

A1= x min - h/2=730,644

B1=A1+h; B2=A2+h

2* Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:

среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);

Вычисление выборочных характеристик распределения

 Di=(xi- xср)

 xср =å xi mi/å mi

 xср  =  751,7539  

Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов

Выборочный центральный момент К-го порядка равен

                            M k =                     ( xi - x)^k mi/        mi  

В нашем примере:

Выборочная дисперсия S^2  равна центральному моменту второго порядка:

В нашем примере:

S^2= 63,94

Ввыборочное среднее квадратическое отклонение:

В нашем примере:

S=  7,996

Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса   Fk   по формулам

Ac = m3/ S^3;

В нашем примере:

Ас =-0,00557

Ek = m4/ S^4 -3;

В нашем примере:

Ek = -0,03442

Медиана Ме - значение признака  x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений  ( n = 2l -1). При четном числе наблюдений( n= 2l)  медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:          Me=( x(e) + x( e+1) /2

Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по ормуле

Me= a me +h * ( n/2 - mh( me-1) / m me

где mе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) - интервала, редшествующего медианому.

В нашем примере:

Me=751,646

Мода Мо  для совокупности наблюдений равна тому значению признака , которому соответствует наибольшая частота.

Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле

Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) - m( mo+1)

где мо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.

В нашем примере:

Mo = 751,49476

Так как  Хср, Mo  Me  почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации       Vs = S/ x * 100 %= 3.06%

В нашем примере:

Vs= 1,06%

3* Построить гистограмму, полигон и кумуляту.

Графическое изображение вариационных рядов

Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 и S) вариационные ряды изображают графически.

Полигон и кумулята применяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)   

Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h, заполнив таблицу 1.4.

Интервалы          xi           Wi            Whi          Wi/h

                     Ai-bi

                          1                  2             3              4               5

                  4,97-5,08         5,03         0,02         0.02          0,18 

                  5,08-5,19         5,14         0,03         0,05          0,27

                  5,19-5,30         5,25         0.12         0,17          1,09

                  5,30-5,41         5,36         0,19         0,36          1,73

                  5,41-5,52         5,47         0,29         0,65          2,64

                  5,52-5,63         5,58         0,18         0,83          1,64

                  5,63-5,74         5,69         0,13         0,96          1,18

                  5,74-5,85         5,80         0,04         1,00          0,36

Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте  Wi  данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице.

Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.

4* Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.

4 Анализ графиков и выводы

Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законе распределения.

Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака  xi, а по оси ординат – накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .

С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).

В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.

Примечание: Кумулята, гистронрамма и полигон находятся в приложениях к работе.

5* Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно.

Расчет теоретической нормальной кривой распределения

Приведем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.

При расчете теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания  (мю) и среднего квадратического отклонения G  нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.

Теоретические частоты находят по формуле:        M^i=npi,

где  n – объем; Pi – величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.

Вероятность Pi  определяется по формуле

                   Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],

Где Ф(t)=2\   2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx       - интегральная функция Лапласа – находится по таблице для

                    T2i=bi-x ср.\ S

                     T1i=ai-x ср.\S

Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределения

Сравнение гистограммы и нормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическим распределением.

Примечание: Построенные графики находятся в приложениях к работе.

6* Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласи яПирсона f^2).

Проверка гипотез о нормальном законе распределения

Частоты для проверки соответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2, основанный на сравнении эмпирических частот mi с теоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определенной нулевой гипотезы.

Значение X^2набл. – наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно

                                         к                                     

                     F^2набл.=        (mi-m^тi)

                                         I=1     m^i

Где   к – число интервалов (после объединения).  M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.

                                                                                      Таблица 1.6.

Вычисление критерия X^2 при проверке нормальности  продолжительности горения электролампочек

Правило проверки гипотезы заключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровня значимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.

Если X^2 набл.<=X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается  (не противоречит опытным данным).

Если X^2 набл. >X^2кр. , то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки a.

Для нашего примера X^2набл.=13,71, a=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр. (0,005; 4) =14,9

Так как X^2набл.<X^2кр., то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается с вероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительности горения электролампочек  является нормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/