Реферат: Операции на графах

Реферат: Операции на графах

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

РЕФЕРАТ

На тему:

«Операции на графах»

МИНСК, 2008

Операции на графах позволяют образовывать новые графы из нескольких более простых. В этом параграфе будут рассмотрены операции на графах без параллельных ребер (дуг).

Объединение графов.

 Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2) – произвольные графы. Объединением  G1ÈG2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин X1ÈX2, и с множеством ребер (дуг)  E1ÈE2.

Рассмотрим операцию на примере графов G1(X1,E1) и G2(X2,E2), приведенных на рис. 4.1. Множества вершин первого и второго графов соответственно равны X1 = {x1, x2, x3} и X2 = {x2, x3, x4}, а множество вершин результирующего графа определится как X = X1ÈX2 = {x1, x2, x3, x4}. Аналогично определяем множества дуг графа:

E1 = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x3, x3)}.               E2 = {(x2, x4), (x3, x2), (x4, x2)}.

E = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x3, x3), (x2, x4), (x3, x2), (x4, x2)}.

Результирующий граф G(X,E)  =  G1(X1,E1)ÈG2(X2,E2) также приведен на рис. 1.

Операция объединения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

   G1ÈG2  = G2ÈG1 – свойство коммутативности;

  G1È(G2ÈG3)  = (G1ÈG2)ÈG3 – свойство ассоциативности.

Операция объединения графов может быть выполнена в матричной форме. Для графов с одним и тем же множеством вершин справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть G1 и G2 – два графа (ориентированные или не ориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X, и пусть A1 и A2 – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G1ÈG2  является матрица A = A1ÈA2, образованная поэлементным логическим сложением матриц A1 и A2.

Рассмотрим выполнение операции объединения графов, множества вершин которых не совпадают. Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2)  – графы без параллельных ребер и  множества X1 и X2 вершин этих графов не совпадают. Пусть  A1 и A2 – матрицы смежности их вершин графов. Для таких графов операция объединения может быть выполнена следующим образом.

В соответствии с определением операции объединения графов найдем множество вершин результирующего графа как X1ÈX2. Построим вспомогательные графы G’1 и G’2, множества вершин которых есть множество X1ÈX2, а множество ребер (дуг) определяется множествами E1 для графа G’1 и E2 для графа G’2. Очевидно, что матрицы A’1 и A’2 смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A1 и A2 путем добавления в них дополнительных столбцов и строк с нулевыми элементами.

Применив к графам G’1 и G’2 теорему 4.1, найдем матрицу смежности вершин графа G’1ÈG’2 как A’1ÈA’2. Очевидно, что полученной матрице смежности вершин  соответствует граф, множество вершин которого равно X1ÈX2, а множество ребер определяется, как E1ÈE2, что соответствует операции объединения графов.

Пример 1. Выполнить в матричной форме операцию объединения графов G1 и G2, представленных на рис. 1.

Составим матрицы смежности вершин графов.

Множество вершин результирующего графа X1ÈX2 = {x1, x2, x3, x4}. Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’1 и G’2.

Матрица A = A’1ÈA’2 имеет вид

Полученная матрица  смежности вершин A’1 È A’2 соответствует графу G1ÈG2, изображенному на рис.1.

Пересечение графов

Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2) – произвольные графы. Пересечением G1ÇG2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин       X1ÇX2 с множеством ребер (дуг) E = E1ÇE2

Операция пересечения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

  G1ÇG2  = G2ÇG1– свойство коммутативности;

  G1Ç (G2ÇG3)  = (G1ÇG2) Ç G3 – свойство ассоциативности.

Для того чтобы операция пересечения была всеобъемлющей, необходимо ввести понятие пустого графа. Граф G(X,E) называется пустым, если множество X вершин графа является пустым (X=Æ). Заметим, что в этом случае и множество E ребер (дуг) графа также пустое множество (E=Æ). Пустой граф обозначается символом Æ. Такой граф может быть получен в результате выполнения операции пересечения графов, у которых X1ÇX2=Æ. В этом случае говорят о непересекающихся графах.

Рассмотрим выполнение операции пересечения графов, изображенных на рис. 2. Для нахождения множества вершин результирующего графа запишем множества вершин исходных графов и выполним над этими множествами операцию пересечения:

X1 = {x1, x2, x3}; X2 = {x1, x2, x3, x4};

X = X1ÇX2 = {x1, x2, x3}.

Аналогично определяем множество E дуг результирующего графа:

E1 = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x2, x3), (x3, x2)};

E2 = {(x1, x3), (x2, x1), (x2, x3), (x2, x4), (x3, x1)};

E = E1ÇE2 = {(x1, x3), (x2, x1)}.

Графы G1(X1,E1), G2(X2,E2) и их пересечение приведены на рис 4.2.

Операция пересечения графов может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2. Пусть G1 и G2 – два графа (ориентированные или неориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X, и пусть A1 и A2 – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G1ÇG2  является матрица A = A1ÇA2 образованная поэлементным логически умножением матриц A1 и A2.

Рассмотрим выполнение операции пересечения для графов с несовпадающим множеством вершин.

Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2)  – графы без параллельных ребер, множества X1 и X2 вершин графов не совпадают, а A1 и A2 – матрицы смежности вершин графов. Для таких графов операция пересечения может быть выполнена так.

В соответствии с определением операции пересечения графов найдем множество вершин результирующего графа как X1ÇX2. Построим вспомогательные графы G’1 и G’2, множества вершин которых есть множество X1ÇX2, а множество ребер (дуг) определяется множествами E’1 и E’2 всех ребер (дуг), инцидентных этим вершинам. Очевидно, что матрицы A’1 и A’2 смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A1 и A2 путем удаления из них столбцов и строк, соответствующих вершинам, не вошедшим во множество X1ÇX2.

Применив к графам G’1 и G’2 теорему 2, найдем матрицу смежности вершин графа G’1ÇG’2 как A’1ÇA’2. Очевидно, что полученной матрице смежности вершин  соответствует граф, множество вершин которого равно X1ÇX2, а множество ребер определяется, как E1ÇE2, что соответствует операции пересечения графов.

Пример 2. Выполнить в матричной форме операцию пересечения графов G1 и G2, представленных на рис. 2.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

Находим множество вершин X результирующего графа.

X = X1ÇX2 = {x1, x2, x3}.

Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’1 и G’2.

Найдем матрицу смежности вершин A = A1 Ç A2

 Полученная матрица  смежности вершин A’1 Ç A’2 соответствует графу G1ÇG2,  изображенному на рис.2.

Композиция графов

Пусть G1(X,E1) и G2(X,E2) — два графа с одним и тем же множеством вершин X. Композицией G1(G2) графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин E, в котором существует дуга (xi,xj) тогда и только тогда, когда существует дуга (xi,xk), принадлежащая множеству E1, и дуга (xk,xj), принадлежащая множеству E2.

Рассмотрим выполнение операции композиции G1(G2) на графах, изображенных на рис.3. Для рассмотрения операции составим таблицу, в первом столбце которой указываются ребра (xi, xk), принадлежащие графу G1, во втором — ребра (xk, xj), принадлежащие графу G3, а в третьем — результирующее ребро (xi, xj) для графа G1(G2).

Заметим, что дуга (x1,x3) результирующего графа в таблице встречается дважды. Однако, поскольку рассматриваются графы без параллельных ребер (дуг), то в множестве E результирующего графа дуга (x1,x3) учитывается только один раз, т.е. E = {(x1,x1), (x1,x3), (x2,x1), (x2,x3)}  

На рис. 3 изображены графы G1 и G2 и их композиции G1(G2). На этом же рисунке изображен граф G2(G1). Рекомендуется самостоятельно построить граф G2(G1) и убедиться,  что графы G1(G2) и G2(G1)   не изоморфны.

Пусть А1 и A2 – матрицы смежности вершин графов G1(X,E1) и G(X,E2) соответственно.  Рассмотрим матрицу A12 элементы aij которой вычисляется так:

                                                                  n

aij = Úa1ikÙa2kj                                                        (1)

                                                                                                              k=1

 где a1ik и a2kj – элементы матрицы смежности вершин первого и второго графов соответственно. Элемент aij равен 1, если в результирующем графе G1(G2) существует дуга, исходящая из вершины xi и заходящая  xj, и нулю – в противном случае.

Пример 3. Выполнить операцию композиции для графов, пред­ставленных на рис. 3.

Составим матрицы смежности вершин графов:

Вычислив элементы матрицы согласно (1), получаем:

Нетрудно убедиться, что полученным матрицам смежности вершин соответствуют графы G1(G2) и G2(G1), представленные на рис. 3.

Декартово произведение графов. Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) — два графа. Декартовым произведением G1(X,E1)´G2(Y,E2) графов G1(X,E1) и G2(X,E2) называется граф с множеством вершин X´Y, в котором дуга (ребро), идущая из вершины (xiyj) в (xkyl), существует тогда и только тогда когда существует дуга (xixk), принадлежащая множеству дуг E1 и j = l или когда существует дуга (yj,yl), принадлежащая множеству E2 и i = k.

Выполнение операции декартова произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 4. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств X´Y. Множество Z содержит следующие элементы: z1=(x1y1), z2=(x1y2), z3=(x1y3), z4=(x2y1), z5=(x2y2), z6=(x2y3).

Определим множество дуг результирующего графа. Для этого выделим группы вершин множества Z,  компоненты которых совпадают. В рассматриваемом примере пять таких групп: две группы с совпадающими компонентами из множества X, и  три группы, имеющие совпадающие компоненты из Y. Рассмотрим группу вершин результирующего графа, которые имеют общую компоненту x1: z1=(x1y1), z2=(x1y1), z3=(x1y3). Согласно определению операции декартова произведения графов, множество дуг между этими вершинами определяется связями между вершинами множества Y. Таким образом, дуга (y1,y1) в графе G2 определяет наличие дуги (z1,z1) в результирующем графе. Для удобства рассмотрения всех дуг результирующего графа составим таблицу, в первом столбце которой перечисляются вершины с совпадающими компонентами, во втором – дуги между несовпадающими компонентами, а в третьем и четвертом – дуги в результирующем графе.

Граф G1´ G2 изображен на рис. 4.

Операция декартова произведения обладает следующими свойствами.

1. G1´G2 = G2´G1

2. G1´(G2´G3) =  (G1´G2)´G3.

Операция декартова произведения графов может быть выполнена в матричной форме.

Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) – два графа, имеющие  nx и ny  вершин соответственно. Результирующий граф G1´G2 имеет nx×ny вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (nx×ny)´ (nx ×ny). Обозначим через aab = a(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину za=(xiyj) c zb=(xkyl). Согласно определению операции этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

aab = a(ij)(kl) = Kik×a2,jl Ú Kjl×a1,ik,                                              (2)

где a1,ik, a2,jl – элементы матрицы смежности вершин графов G1 и G2 соответственно;

Kik – символ Кронекера, равный 1, если i=k, и нулю, если i¹k .

Пример 4. Выполнить операцию декартова произведения на графах, приведенных на рис. 4.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

Для построения матрицы смежности результирующего графа воспользуемся соотношением (2). В этом соотношении первое слагаемое Kik×a2,jl указывает на наличие дуг для вершин, у которых совпадают компоненты из множества X. Для пояснения сказанного, рассмотрим вспомогательную матрицу Axy, в которой элементы, для которых Kik = 1, помечены символом X. Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A2 смежности вершин графа G2, так, как это показано для матрицы A*.

Второе слагаемое Kjl×a1,ik соотношения (2) указывает на  наличие дуг для групп вершин, у которых совпадают компоненты из множества Y. В матрице Axy элементы, для которых Kjl = 1 помечены символом Y. Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A1 смежности вершин графа G1, так, как это показано для матрицы A*.

Заметим, что в матрицах Axy и A* на главной диагонали располагаются элементы, равные логической сумме значений элементов матриц смежности вершин обоих графов. Это определяется тем, что на главной диагонали расположены элементы, для которых    Kik = Kjl = 1.

Таким образом, матрица смежности вершин результирующего графа принимает вид:

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G1´G2, представленный на рис. 4

 Операция произведения графов.  Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) - два графа. Произведением G1×G2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин X´Y, а дуга из вершины  (xi,yj) в вершину (xk,yl) существует тогда и только тогда, когда существуют дуги (xi,xk) Î E1 и (yj,yl) Î E2.

Выполнение операции произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 5. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств X´Y. Множество Z содержит следующие элементы: z1=(x1y1), z2=(x1y2), z3=(x1y3), z4=(x2y1), z5=(x2y2), z6=(x2y3).

Определим множество дуг результирующего графа. Для удобства рассмотрения составим таблицу, в первом столбце которой указываются дуги графа G1, во втором – дуги графа G2, а в третьем и четвертом – дуги результирующего графа.

Результирующий граф G1×G2 изображен на рис.5.

Операция произведения обладает следующими свойствами.

1. G1×G2 = G2×G1.

2. G1×(G2×G3)  = (G1×G2)×G3.

Рассмотрим выполнение операции произведения графов в матричной форме.

Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) – два графа, имеющие  nx и ny  вершин соответственно. Результирующий граф G1×G2 имеет nx×ny вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (nx×ny)´ (nx ×ny). Обозначим через aab = a(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину za=(xiyj) c zb=(xkyl). Этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

aab =a(ij)(kl) = a1,ik Ù a2,jl,                                        (3)

де a1,ik, a1,ik – элементы матрицы смежности вершин графов G1 и G2 соответственно.

Пример 5. Выполнить операцию произведения на графах, приведенных на рис. 5.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

Построим матрицу A смежности вершин результирующего графа, каждый элемент которой вычисляется согласно соотношению (4.3).

Для удобства рассмотрения разделим матрицу A на четыре квадратные подматрицы. Заметим, что каждая подматрица может быть получена путем логического элементов матрицы умножения A2 на один из элементов  a1,ij матрицы A1. С учетом этого матрицу A можно представить так:

 Таким образом, матрица смежности вершин  графа G1×G2 имеет вид:

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G1×G2, представленный на рис. 5.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).

2.  Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2.

3.  Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).